Irrationāl

Irrationāl (lat., irrationell), vernunftwidrig, unvernünftig; in der Mathematik Bezeichnung für eine Zahl, die zur Einheit inkommensurabel ist (s. Größe, S. 421), deren Wert man daher nicht völlig genau, sondern nur annähernd (durch einen unendlichen, nicht periodischen Dezimalbruch) ausdrücken kann. Beispiele bieten die Quadratwurzeln aus solchen ganzen Zahlen, die wie 2,3,5 nicht Quadrate ganzer Zahlen sind, ferner die bei der Berechnung des Kreises auftretende Ludolfsche Zahl π = 3,1415926... u. a. Man teilt die irrationalen Zahlen ein in algebraische (s. Algebra) und in transzendente (s. d.). Der Ausdruck i. rührt von der falschen Übersetzung des entsprechenden griechischen Wortes her. Die Pythagoreer, die Entdecker des I., nannten es alogos, d. h. unaussprechbar, indem sie richtig erkannten, daß z. B. die Wurzel aus 2 (Verhältnis der Diagonale des Quadrats zur Seite) zwar existiere, sich aber mit den bisherigen Zahlen nicht aussprechen lasse. Die Römer übersetzten logos mit ratio, Vernunft, und so wurden die unaussprechlichen Zahlen zu unvernünftigen. Über den Begriff der irrationalen Zahlen vgl. die Arbeiten von G. Cantor in Crelles Journal und in den »Acta mathematica«; Kronecker, Über den Zahlbegriff (in Crelles Journal, Bd. 101, Heft 4); Dedekind, Stetigkeit u. Irrationalzahlen (2. Aufl., Braunschweig 1892); Christoffel, Lehrsätze über arithmetische Eigenschaften der Irrationalzahlen (in den »Annali di Matematica pura ed applicata«, 1887); Bachmann, Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen (Leipz. 1892); für die Mittelschulen: Schubert, System der Arithmetik u. Algebra (Potsd. 1885); Stolz u. Gmeiner, Theoretische Arithmetik (Leipz. 1900–02).