Mächtigkeit

Mächtigkeit, ein wichtiger Begriff der neuern Mathematik. Zwei verschiedene Mengen von Dingen haben gleiche M., wenn man jedem der ersten Menge angehörigen Ding ein der zweiten angehöriges derart zuordnen kann, daß auch jedem der zweiten angehörigen Dinge eines und nur eines zugeordnet ist, das der ersten angehört. In diesem Sinne haben z. B. die Menge aller ganzen Zahlen und die Menge aller geraden Zahlen gleiche M., denn man kann den ganzen Zahlen 1, 2, 3,... der Reihe nach die geraden Zahlen 2, 4, 6,... zuordnen, derart, daß auch umgekehrt jeder Zahl der Reihe 2, 4, 6,... eine und nur eine Zahl der Reihe 1, 2, 3,... entspricht. Für eine Menge, die aus einer endlichen Anzahl von Dingen besteht, fällt der Begriff der M. zusammen mit dem der Anzahl der in der Menge enthaltenen Dinge. Für unendliche Mengen von Dingen sind dagegen beide Begriffe verschieden, wie das angeführte Beispiel zeigt, denn die Menge aller geraden Zahlen ist ja nur ein Teil der Menge aller ganzen Zahlen. Es ist sogar ein wesentliches Merkmal der unendlichen Mengen, daß eine solche mit einer in ihr enthaltenen Teilmenge gleiche M. haben kann. Den Begriff und das Wort M. hat G. Cantor eingeführt (in Crelles Journal, Bd. 84). Vgl. Mannigfaltigkeit. – In der Geognosie nennt man M. die Dicke oder senkrechte Entfernung der beiden Begrenzungsflächen eines Ganges, einer Schicht, eines Schichtenkomplexes oder einer Gesteinsmasse überhaupt.