Alligationsrechnung

Alligationsrechnung (Mischungsrechnung), die Berechnung der Qualität einer Mischung oder Legierung, die aus bekannten Mengen (Quantitäten) verschiedener Stoffe (Sorten) von verschiedenen. aber bekannten Qualitäten hergestellt ist. Unter Qualität eines Stoffes versteht man hierbei seinen Gehalt, sein spezifisches Gewicht etc., kurz das, wonach sich sein Preis richtet, oder auch den Preis selbst. Sind q1, q2, ... die Quantitäten der zu mischenden Stoffe, alle in derselben (Maß- oder Gewichts-) Einheit ausgedrückt, und a1, a2, ... der Reihe nach ihre Qualitäten, ebenfalls in derselben Einheit ausgedrückt, so ist q = q1+q2+ ... die Quantität der Mischung, und deren Qualität m bestimmt sich aus: a1q1+a2q2+ ... = m. q, d. h. die Qualität der Mischung erhält man, indem man für jeden einzelnen Stoff das Produkt aus Quantität und Qualität bildet und die Summe aller dieser Produkte durch die Summe der Quantitäten dividiert. Besteht die Mischung nur aus zwei Stoffen, so hat man die Gleichungen: 300@@break aus denen folgt: 250@@break und da q1 und q2 nicht negativ sein können, so müssen die drei Differenzen a1-a2, m-a2, a1-m entweder alle drei positiv oder alle drei negativ sein. Demnach liegt die Qualität m der Mischung stets zwischen a1 und a2, sie ist geringer als die der bessern der beiden gemischten Stoffe, aber besser als die der geringern. Die Gleichungen 2) lösen die Aufgabe, aus zwei Stoffen von bekannten Qualitäten a1 und a2 eine Mischung von bestimmter Qualität m und Quantität q herzustellen, dabei ist q beliebig wählbar, während in zwischen a1 und a2 liegen muß. Aus 1) folgt ferner: 250@@break man findet so, welche Quantität a2 eines Stoffes von der Qualität a2 man zu einem Stoffe von gegebener Quantität q, und Qualität a1 hinzufügen muß, um eine Mischung von bestimmter Qualität m zu erhalten; auch hier muß m zwischen a1 und a2 liegen. Endlich folgt aus 1): 300@@break man findet so, von welcher Qualität a2 ein Stoff sein muß, damit die Menge q2 dieses Stoffes mit einem Stoffe von gegebener Qualität a, und Quantität q1 gemischt eine Mischung von gegebener Qualität m liefert. Hier kann man m beliebig wählen, doch darf, wenn m kleiner als a, ist, mq2 nicht kleiner als q1 (a1-m) gewählt werden, weil sonst a2 negativ wird. Zur A. gehört auch die sogen. Kronenrechnung des Archimedes, bei der die Aufgabe zu lösen ist: eine Legierung zweier Metalle von den spezifischen Gewichten s1 und s2 hat das spezifische Gewicht t und wiegt p Kilogramme; wieviel Kilogramme x, des ersten und x2 des zweiten Metalls sind darin enthalten? Da p/t die Größe des Raumes darstellt, den die Legierung einnimmt, und x1/s1, x2/s2 die Räume, die von den beiden Metallen eingenommen werden, so hat man: x1+x2 = p, x1/s1+x2/s2 = p/t, also: 250@@break Doch entspricht die Rechnung nicht genau der Wirklichkeit, da bei der Legierung die Rauminhalte der Metalle nicht ungeändert bleiben und also die Gleichung für p/t nur annähernd richtig ist.